Title: Lineare Algebra / 01 Einführung

Q: Was ist ein Körper?
A: Ein Körper ist eine Menge \(\Bbbk\), in der Addition, Subtraktion und Multiplikation beliebig ausgeführt werden kann, und in dem durch jedes von 0 verschiedene Element dividiert werden kann. Die wichtigsten Körper für die Zwecke des Buches sind der Körper \(\mathbb{Q}\) der rationalen Zahlen und der Körper \(\mathbb{R}\) der reellen Zahlen.

Q: Eine Abbildung \(f\colon X\to Y\) heißt injektiv, wenn ...
A: ... verschiedene Urbilder auch verschiedene Bilder haben, wenn also aus \(x_1\ne x_2\) folgt, dass \(f(x_1)\ne f(x_2)\).

Q: Eine Abbildung \(f\colon X\to Y\) heißt surjektiv, wenn ...
A: ... jedes mögliche Bild im Wertebereich auch tatsächlich erreicht wird, wenn es also zu jedem \(y\in Y\) ein \(x\in X\) gibt derart, dass \(f(x)=y\).

Q: Eine Abbildung \(f\colon X\to Y\) heißt bijektiv, wenn ...
A: sie sowohl surjektiv als auch injektiv ist. Sie ordnet jedem Element des Definitionsbereichs \(X\) ein Element des Wertebereichs \(Y\) zu, und für jedes Bild \(y\in Y\) gibt es genau ein Urbild \(x\in X\) mit \(f(x)=y\).

Q: Was ist der Graph einer Funktion \(f\colon X \to Y\)
A: Der Graph ist die Teilmenge \[\{(x,f(x))\mid x\in X\}\subset X\times Y\]

Q: Was ist das kartesische Produkt \(A\times B\) zweier Mengen \(A\) und \(B\)?
A: Das kartesische Produkt ist die Menge\[ A\times B = \{(a,b)\mid a\in A\wedge b\in B\}\]von Paaren.