Title: Lineare Algebra / 12 Matrixzerlegungen / 5 Singulärwertzerlegung

Q: Wie ist die Singulärwertzerlegung einer [$]n\times m[/$]-Matrix definiert?
A: Zerlegung einer Matrix in der Form
\[A=U\Sigma V^t\]
- \(U\): \(n\times n\) orthogonale Matrix
- \(V\): \(m\times m\) orthogonale Matrix
- \(\Sigma\): \(n\times m\)-Matrix, die auf der Diagonalen die sogenannten Singulärwerte enthält: \[\Sigma=\begin{pmatrix}\sigma_1&0&\dots&0&0&\dots&0\\0&\sigma_2&\dots&0&0&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&\dots&\sigma_r&0&\dots&0\\0&0&\dots&0&0&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&\dots&0&0&\dots&0\end{pmatrix}\]
- \(r\): Rang der Matrix

Q: Was sind die Singulärwerte von \(A\)?
A: Von 0 verschiedene Eigenwerte der Matrizen \(A^tA\) und \(AA^t\)

Q: Beschreiben Sie einen Algorithmus zur Bestimmung der Singulärwertzerlegung
A: 1. Berechnung der Eigenvektoren der symmetrischen Matrix \(A^tA\), sie bilden die Matrix \(V\)
2. Berechnung der Eigenvektoren der symmetrischen Matrix \(AA^t\), sie bilden die Matrix \(U\)
3. Für die Eigenvektoren zu nicht verschwindenen Eigenwerten müssen im Schritt 2 Bilder der Eigenvektoren aus Schritt 1 unter der Matrix \(A\) verwendet werden

Q: Wie berechnet man die Pseudoinverse einer Matrix \(A\)?
A: 1. Man berechnet die Singuläwertzerlegung \(A=U\Sigma V^t\)
2. Die Pseudoinverse \(\Sigma^\dagger\) von \(\Sigma\) erhält man, indem man die nicht verschwindenden Singulärwerte reziprok nimmt.
3. Die Pseudoinverse von \(A\) ist \(A^\dagger= V\Sigma^\dagger U^t\).

Q: Wenn \(A^\dagger\) die Pseudoinverse von \(A\) ist, was sind dann \(A^\dagger A\) und \(AA^\dagger\)?
A: Die genannten Produkte sind Projektionsmatrizen auf die ersten \(r\) Koordinaten, wobei \(r=\operatorname{rank} A\) ist.