Title: Lineare Algebra / 09 Transformationen

Q: Was ist der Nullraum einer Matrix?
A: Der Nullraum einer Matrix \(A\) besteht aus den Vektoren, die von der Matrix zu 0 gemacht werden, also \[N(A) = \{x\in\mathbb{R}^n\mid Ax=0\}\]

Q: Was ist der Kern einer linearen Abbildung?
A: Der Kern einer linearen Abbildung ist die Menge der Vektoren, die von der linearen Abbildung auf 0 abgebildet werden:\[\ker f = \{ x\in V\mid f(v)=0\}\]
Verwendet man eine Basis, kann die Abbildung mit einer Matrix geschrieben werden, deren Nullraum die Koordinatenvektoren der Vektoren des Kerns enthält.

Q: Was ist der Spaltenraum einer Matrix?
A: Der Spaltenraum besteht aus allen möglichen Linearkombinationen von Spalten der Matrix. Beschreibt die Matrix ein Abbildung, dann besteht der Spaltenraum aus den Koordinatenvektoren aller möglichen Bildvektoren.

Q: Was ist das Bild einer linearen Abbildung \(f\colon U \to V\)?
A: Das Bild besteht aus allen Vektoren, die als Bilder der Abbildung auftreten können, also \[\operatorname{im}f = \{f(u)\mid u\in U\}\]

Q: Wie hängen der Nullraum der Matrix \(A\) und der Spaltenraum der Matrix \(A^t\) zusammen?
A: Der Nullraum von \(A\) ist das Orthogonalkomplement des Spaltenraumes von \(A^t\): \[N(A)=C(A^t)^\perp\]

Q: Was ist das Orthogonalkomplement eines Unterraums \(U\subset V\)?
A: Das Orthogonalkomplement besteht aus den Vektoren, die auf allen Vektoren von \(U\) senkrecht stehen:\[U^\perp = \{x\in V\mid x\cdot u = 0\forall u \in U\}\]

Q: Was ist eine Gruppe?
A: Eine Gruppe \(G\) ist eine Menge mit einer zweistelligen Verknüpfung mit folgenden Eigenschaften:
1. sie ist assoziativ: \((gh)k=g(hk)\)
2. Es gibt ein neutrales Element \(e\) mit \(g=eg=ge\;\forall g\in G\)
3. Zu jedem Element \(g\in G\) gibt es ein inverses Element \(g^{-1}\) mit \(gg^{-1}=g^{-1}g=e\)

Q: Wie ist die orthogonale Gruppe definiert?
A: Die orthogonale Gruppe besteht aus den orthogonalen Matrizen:\[O(n) = \{A\in M_n(\mathbb{R})\mid A^tA=I\}\]

Q: Was ist die spezielle lineare Gruppe?
A: Die spezielle lineare Gruppe besteht aus den Matrizen mit Determinanten 1.

Q: Was ist eine Lie-Algebra?
A: Eine Lie-Algebra ist ein Vektorraum mit einer bilinearen antisymmetrischen Verknüpfung \([\;\,,\;]\), welche die Jacobi-Identität erfüllt.

Q: Wie ist die Exponentialfunktion einer Matrix \(A\) definiert?
A: \[e^A = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!}+\dots = \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}\]