Title: Lineare Algebra / 04 Determinante

Q: Wie lautet die Produktformel für die Determinante?
A: Die Determinante eines Produktes von Matrizen ist das Produkt der Determinanten: \(\det (AB)=\det(A)\det(B)\).

Q: Wie berechnet man die Determinante einer Dreiecksmatrix?
A: Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente: \(\det(L)=l_{11}l_{22}\dots l_{nn}\)

Q: Determinante der \(2\times 2\)-Matrix\[A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\]
A: \[\det(A)=\left|\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right|=ad-bc\]

Q: Was berechnet die Sarrus-Formel und wie lautet sie?
A: Formel für die Determinante einer \(3\times 3\)-Matrix:
\[\left| \begin{matrix} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i\end{matrix} \right| = aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb\]

Q: Wie kann man \(\det(A^{-1})\) aus [$]\det A[/$] berechnen? Warum ist dies so?
A: \[\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}\]Begründung: aus der Produktformel \[1=\det(I)=\det(AA^{-1})=\det(A^{-1})\det(A)\Rightarrow \det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}\]

Q: Wie kann man die Determinante einer Blockmatrix\[A=\begin{pmatrix}A_1&0&\dots&0\\0&A_2&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&A_k\end{pmatrix}\]
mit Blöcken \(A_1,A_2,\dots,A_k\) durch die Determinanten der Blöcke ausdrücken?
A: \[\det(A)=\det(A_1)\det(A_2)\cdots\det(A_k)\]

Q: Wie ändert Multiplikation einer Zeile mit \(\lambda\) den Wert einer Determinanten?
A: Der Wert der Determinanten wird mit \(\lambda\) multipliziert.

Q: Wie ändert Multiplikation einer Spalte einer Matrix mit \(\lambda\) den Wert der Determinanten?
A: Der Wert der Determinante wird mit \(\lambda\) multipliziert.

Q: Zeilenaddition: wie ändert das Hinzuaddieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile den Wert einer Determinanten?
A: Gar nicht.

Q: Spaltenoperation: wie ändert das Hinzuaddieren eines Vielfachen einer Spalte zu einer anderen Spalte einer Matrix den Wert ihrer Determinanten?
A: Gar nicht.

Q: Zeilenvertauschung: Wie ändert Vertauschung zweier Zeilen einer Matrix den Wert ihrer Determinanten?
A: Die Determinante wechselt das Vorzeichen.

Q: Spaltenvertauschung: Wie ändert die Vertauschung zweier Spalten einer Matrix den Wert ihrer Determinanten?
A: Die Determinante wechselt das Vorzeichen.

Q: Wie berechnet man die Determinante einer Matrix mit dem Gauß-Algorithmus?
A: Die Determinante ist das Produkt der Pivotelemente, die im Laufe des Gauß-Algorithmus aufgetreten sind.

Q: Wie berechnet man eine Determinante durch Entwicklung nach einer Spalte?
A: Die Entwicklung nach der Spalte \(k\) ist die Summe\[\det (A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{j+k}a_{jk} \det(A_{jk})\]
wobei die Matrizen \(A_{jk}\) aus \(A\) entstehen, indem die Zeile \(j\) und die Spalte \(k\) entfernt wird.

Q: Was ist die Determinante der Transponierten einer Matrix?
A: \[\det(A^t)=\det(A)\]

Q: Die Determinante der Einheitsmatrix ist ...
A: 1

Q: Die Determinante kann durch drei Eigenschaften charakterisiert werden. Welche?
A: 1. Die Determinante ist eine lineare Funktion der Zeilen
2. Bei Vertauschung zweier Zeilen kehrt das Vorzeichen
3. Die Determinante der Einheitsmatrix ist 1
Alternativ ist auch die Charakterisierung über entsprechende Spalten-Eigenschaften möglich:
1. Die Determinante ist eine lineare Funktion der Spalten
2. Bei Vertauschung zweier Spalten kehrt das Vorzeichen
3. Die Determinante der Einheitsmatrix ist 1

Q: Kofaktormatrix von \(A\)
A: Die Matrix mit den Matrixelementen
\[\operatorname{cof}(A)_{ij} = (-1)^{i+j}\det(A_{ij})\]

Q: Wie kann die inverse Matrix von \(A\) durch die Kofaktormatrix ausgedrückt werden?
A: \[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\;\operatorname{cof}(A)^t\]

Q: Cramersche Regel: wie kann man die Unbekannte \(i\) in der Lösung eines \(n\times n\)-Gleichungssystems \(Ax=b\) berechnen?
A: In der Zählerdeterminante muss die Spalte \(i\) der Matrix durch die rechte Seite ersetze werden, dann ist die Lösung:\[x_i = \frac{\begin{array}{|ccccc|}a_{11}&\dots&b_1&\dots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\dots&b_n&\dots&a_{nn}\end{array}}{\det(A)}\]

Q: Wie kann man die Determinante einer Blockmatrix berechnen?
A: \[\left|\begin{matrix}A_1&0&\dots&0\\0&A_2&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&A_n\end{matrix}\right|=\det(A_1)\det(A_2)\cdots \det(A_n)\]

Q: Was ist eine Transposition? (Nicht die Transponierte einer Matrix)
A: Permutation, die genau zwei Elemente vertauscht

Q: Wie hängen die Determinante einer quadratischen Matrix und ihre Regularität zusammen?
A: Eine quadratische Matrix ist genau dann regulär, wenn die Determinante von 0 verschieden ist.

Q: Der Entwicklungssatz berechnet die Determinante als Summe von Summanden mit jeweils drei Faktoren. Welche sind dies?
A: Die Determinante ergibt sich durch Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte, indem die Elemente der Zeile bzw. Spalte mit dem Vorzeichen gemäss Schachbrettmuster (p. 181 im Buch) und der Unterdeterminante, die durch Wegstreichen der Zeile und Spalte des Elementes entsteht, multipliziert und aufaddiert werden.

Q: Gibt es eine Summenforme, die die Determinante \(\det(A+B)\) einer Summe von Matrizen durch die Determinanten \(\det A\) und \(\det B\) ausdrückt?
A: Nein.