Title: Lineare Algebra / 12 Matrixzerlegungen / 2 LU-, LDU- und LR-Zerlegung

Q: WIe ist die LU-Zerlegung definiert?
A: Zerlegung einer Matrix in der Form
\[A=LU\]
- \(L\): untere Dreiecksmatrix
- \(U\): unitale obere Dreiecksmatrix

Q: Was ist eine unitale Matrix?
A: Dreiecksmatrix, deren Diagonalelemente 1 sind

Q: Wie ist die LR-Zerlegung definiert?
A: Zerlegung einer Matrix in Dreiecksmatrizen in der Form
\[A=LR\]
- \(L\): unitale untere Dreiecksmatrix
- \(R\): obere Dreiecksmatrix

Q: Wie ist die LDU-Zerlegung definiert?
A: Zerlegung einer Matrix in ein Produkt von Dreiecksmatrizen in der Form
\[A=LDU\]
- \(L\): unitale untere Dreiecksmatrix
- \(D\): Diagonalmatrix
- \(U\): unitale obere Dreiecksmatrix

Q: Wie kann die LU-, LR- und LDU-Zerlegung bestimmt werden?
A: 1. Vorwärtsreduktion durchführen
2. rote (Pivot-Elemente) und blaue Elemente (Spalte unter den Pivot-Elementen) bilden die untere Dreiecksmatrix der LU-Zerlegung
3. im Tableau verbleibende obere Dreiecksmatrix ist die unitale obere Dreiecksmatrix der LU-Zerlegung
4. Die Diagonale der unteren Dreiecksmatrix der LU-Zerlegung ist die Diagonalmatrix der LDU-Zerlegung: \((LD^{-1})DU=A\)
5. Die LR-Zerlegung ist \((LD^{-1}) (DU)\)

Q: Was ist eine Gauß-Matrix?
A: Eine Gauß-Matrix macht einen einzelnen Gauß-Schritt im Gauß-Algorithmus rückgängig. Sie ist von der Form\[G=\begin{pmatrix}1&0&\dots&0&\dots&0\\0&1&\dots&0&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&{\color{red}a_{kk}}&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&{\color{blue}\vdots}&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&{\color{blue}a_{nk}}&\dots&1\end{pmatrix}\] Der Faktor \(L\) in der LU-Zerlegung ist ein Produkt von Gauß-Matrizen.