Title: Lineare Algebra / 11 Eigenwerte und Eigenvektoren

Q: Wie ist die Fibonacci-Folge definiert?
A: Die Fibonacci-Folge \(F_n\) ist rekursiv definiert durch
- \(F_{n+1}=F_n+F_{n-1}\)
- \(F_1=1, F_0=0\)

Q: Was ist ein Eigenwert einer Matrix \(A\)?
A: Zahl \(\lambda\) derart, dass es einen von Null verschiedenen Vektor \(v\) gibt mit
\(Av=\lambda v\)

Q: Was ist ein Eigenvektor?
A: Der Vektor \(v\) heisst Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda\), wenn er von \(0\) verschieden ist und von der Matrix \(A\) nur gestreckt wird:
\[Av=\lambda v,\]
\(\lambda\) heisst Eigenwert.

Q: Wie ist das charakteristisches Polynom einer Matrix definiert?
A: \[\chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)\]
Die Eigenwerte von \(A\) sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms

Q: Beschreiben Sie einen Algorithmus zur Bestimmung der Eigenvektoren einer Matrix
A: 1. Finde das charakteristische Polynom \(\chi_A(\lambda)\)
2. Finde die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, dies sind die Eigenwerte
3. Für jeden Eigenwert, verwende den Gauss-Algorithmus mit dem nachstehenden Tableau zur Bestimmung von Eigenvektoren
[$$]\begin{tabular}{|ccc|}\hline $a_{11}-\lambda$ & $\dots$ & $a_{1n}$ \\ $\vdots$ & $\ddots$ & $\vdots$ \\ $a_{n1}$ & $\dots$ & $a_{nn}-\lambda$\\\hline\end{tabular}[/$$]

Q: Wann heißt eine Matrix diagonalisierbar?
A: Eine Matrix heißt diagonalisierbar, wenn es eine Basis aus Eigenvektoren gibt

Q: Nennen Sie mögliche hinreichende Bedingungen für Diagonalisierbarkeit
A: - Alle Eigenwerte sind verschieden (mit Vielfachheit 1)
- Die Matrix ist symmetrisch

Q: Wie kann man eine lineare Differenzengleichung lösen?
A: 1. Die Differenzengleichung in Matrixform schreiben.
2. Eine Lösungsfolge der Differenzengleichung entsteht aus Potenzen der Matrix.
3. Eigenwerte \(\lambda_i\) und Eigenvektoren \(v_i\) der Matrix bestimmen.
4. Die Anfangsbedingung \(a = a_1v_1+\dots a_nv_n\) in den Eigenvektoren darstellen.
5. Die Lösung als Linearkombination ablesen:\[a(k)= a_1\lambda_1^k + \dots + a_n\lambda_n^k v_k \]

Q: Mit der Matrix \[J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\]was ist \(e^{Jt}\)?
A: Der Wert der Exponentialfunktion wird durch die Euler-Formel gegeben:\[e^{Jt} = I\cos t + J \sin t\]