Title: Lineare Algebra / 10 Projektive Geometrie

Q: Was beinhaltet die Kameramatrix?
A: Die Kameramatrix beschreibt die geometrischen Abbildungseigenschaften der Kamera und des Objektivs
\[K=\begin{pmatrix}f&0&m_x\\0&f&m_y\\0&0&1\end{pmatrix}\]
- \(f\): Brennweite
- \(M=(m_x,m_y)\): Mittelpunktskoordinaten des Chips der Kamera, \(m_x=w/2\) und \(m_y=h/2\)

Q: Was beinhaltet die Kameraprojektionsmatrix?
A: Die Kameraprojektionsmatrix beschreibt die Abbildung von Punkten im dreidimensionalen Raum vollständig. Sie ist die \(3\times 4\)-Matrix
\[KD\begin{pmatrix}I&-c\end{pmatrix}\]
- \(K\): Kameramatrix
- \(D\): Drehmatrix, Orientierung der Kamera
- \(c\): Kamerazentrum
Die letzte Matrix im Produkt ist also eine Matrix zu lesen, die sich aus der quadratischen Einheitsmatrix und einem Spaltenvektor \(-c\) zusammensetzt.

Q: Strahl zu einem Punkt auf dem Chip einer Kamera
A: \[\vec{q}=\vec{c} + t (KD)^{-1}\vec{b}\]
- \(\vec{b}\): Homogene Koordinaten des Bildpunktes auf dem Chip
- \(K\): Kameramatrix
- \(D\): Drehmatrix, Orientierung der Kamera
- \(c\): Kamerazentrum
- \(t\): Parameter des Strahls
Richtungsvektor des Strahls: \((KD)^{-1}\vec{b}\)

Q: Was sind homogene Koordinaten eines Punktes?
A: Die Projektion mit einer Kamera bildet alle Punkte auf einer Geraden durch das Kamerazentrum auf den gleichen Punkt ab. Im Koordinatensystem der Kamera sind homogene Koordinaten eines Punktes die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf einer solchen Geraden. Homogene Koordinaten eines Punktes in einem \(n\)-dimensionalen Raum sind also \((n+1)\)-Tupel von reellen Zahlen. Zwei solche Tupel beschreiben den gleichen Punkt, wenn Sie durch Skalierung auseinander hervorgehen.