Title: Lineare Algebra / 08 Volumen und Orientierung

Q: Was ist das orientierte Volumen des von \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) aufgespannten Parallelepipeds
A: \[V(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})\]

Q: Wie berechnet man den orientierten Flächeninhalt eines Polygons mit den Ecken \(P_1,\dots,P_n\)
A: Schuhbändelformel:
\[F(P_1P_2\ldots P_n)=\left|\begin{matrix}x_1&y_1\\x_2&y_2\\x_3&y_3\\\vdots&\vdots\\x_n&y_n\\x_1&y_1\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}x_1&y_1\\x_2&y_2\end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix}x_2&y_2\\x_3&y_3\end{matrix}\right|+\dots+\left|\begin{matrix}x_n&y_n\\x_1&y_1\end{matrix}\right|\]

Q: Wie berechnet man das Vektorprodukt aus den Komponenten in einer orthonormierten Basis?
A: \[\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}\]

Q: Wie lauten die definierenden Eigenschaften des Vektorproduktes \(\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}\)?
A: - \(\vec{a}\times\vec{b}\) ist orthogonal auf \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\)
- \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) ist der Flächeninhalt des von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannten Parallelogrammes
- Ist \(\alpha\) der Winkel zwischen \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\), dann ist \[|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\sin\alpha\]

Q: Wie berechnet man eine Normale auf den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\)
A: - \(\vec{n} = \vec{a}\times\vec{b}\).
- Ein Gleichungssystem mit den zwei Gleichungen \(\vec{a}\cdot\vec{n}=0\) und \(\vec{b}\cdot\vec{n}=0\) nach \(\vec{n}\) auflösen.

Q: Wie kann man das geschachtelte Vektorprodukt \(\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})\) vereinfachen?
A: Graßmann-Identität:
\[\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c} - (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}\]

Q: Definition des Kommutators zweier Matrizen
A: \[[A,B]= AB-BA\]

Q: Wie lautet die Jacobi-Identität für das Vektorprodukt
A: \[[A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0\]

Q: Formel für den Abstand Punkt-Gerade
A: Abstand
\[d=\frac{(\vec{a}-\vec{p})\times \vec{r}}{|\vec{r}|}\]
- \(\vec{p}\): Stützvektor
- \(\vec{a}\): Ortsvektor des Punktes \(A\)
- \(\vec{r}\): Richtungsvektor der Geraden

Q: Wie kann man Zwischenwinkel zwischen zwei Vektoren mit Vektorprodukt berechnen?
A: \[\sin\alpha=\frac{|\vec{a}\times\vec{b}|}{|\vec{a}|\;|\vec{b}|}\]

Q: Formel für den Abstand windschiefer Geraden
A: Abstand
\[d=(\vec{p}_2-\vec{p}_1)\cdot\frac{\vec{r}_1\times\vec{r}_2}{|\vec{r}_2\times\vec{r}_1|}\]
- \(\vec{p}_1,\vec{p}_2\): Stützvektoren der beiden Geraden
- \(\vec{r}_1,\vec{r}_2\): Richtungsvektoren der beiden Geraden

Q: Was ist die Gram-Determinante
A: Die Determinante
\[\operatorname{Vol}(a_1,\dots,a_n)^2=\operatorname{Gram}(a_1,\dots,a_n)=\left|\begin{matrix}a_1\cdot a_1&\dots&a_1\cdot a_n\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_n\cdot a_1&\dots&a_n\cdot a_n\end{matrix}\right|\]
der Gram-Matrix berechnet das Volumen des von den Vektoren aufgespannten Parallelepipeds

Q: Wie lautet die allgemeine Abstandsform für zwei windschiefe Geraden im \(n\)-dimensionalen Raum.
A: \[d=\frac{\operatorname{Vol}(\vec{p}_2-\vec{p}_1,\vec{r}_1,\vec{r}_2)}{\operatorname{Vol}(\vec{r}_1,\vec{r}_2)}\]

Q: Wie lautet die allgemeine Abstandsformel: Entfernung eines Punktes von einem von [$]k[/$] Vektoren aufgespannten Unterraum
A: \[d=\frac{\operatorname{Vol}(a_1,\dots,a_k,b)}{\operatorname{Vol}(a_1,\dots,a_k)}\]
- \(b\): Ortsvektor des Punktes
- \(a_i\): Vektoren, die den Unterraum aufspannen

Q: Ist das Vektorprodukt assoziativ?
A: Nein. Aus der Graßmann-Identität kann man schliessen, dass im Allgemeinen \[\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})\ne (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}.\]

Q: Ist das Vektorprodukt kommutativ?
A: Nein, es ist anitkommutativ, d.h. \(\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}\).

Q: Wie kann man eine Drehung um die Achse \(\vec{u}\) um den Winkel \(\alpha\) mit dem Vektorprodukt beschreiben?
A: Die Rodrigues-Formel berechnet den gedrehten Vektor \(\vec{x}'\) aus dem Vektor \(\vec{x}\) gemäss\[\vec{x}' = \cos\alpha\cdot\vec{x} + (1-\cos\alpha)(\vec{u}\cdot\vec{x})\vec{u}+\sin\alpha\cdot(\vec{u}\times\vec{x})\]

Q: Welche geometrische Größe berechnet die Gram-Determinante?
A: Die Gram-Determinante der Vektoren \(\vec{a}_1,\dots,\vec{a}_n\) ist das Quadrat des Volumens des von den Vektoren aufgespannten Parallelepipeds.