Title: Lineare Algebra / 03 Vektoren und Matrizen

Q: \(n\)-dimensionaler Zeilenvektor über dem Körper \(\Bbbk\)
A: Zahlenschema der Form
\[\begin{pmatrix}x_1&x_2&\dots&x_n\end{pmatrix}\in \Bbbk^n\]

Q: Was ist ein \(m\)-dimensionaler Spaltenvektor über \(\Bbbk\)?
A: Ein \(m\)-dimensionaler Spaltenvektor ist ein Zahlenschema der Form
\[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_m\end{pmatrix}\in\Bbbk^m\]

Q: Was ist der Nullvektor?
A: - Das neutrale Element ein bezüglich der Addition in einem Vektorraum
- Zeilen- oder Spaltenvektor mit lauter Nullen als Einträgen

Q: Wie sieht die Vektorschreibweise eines linearen Gleichungssystems mit Koeffizienten \(a_{ik}\), Unbekannten \(x_k\) und rechten Seiten \(b_i\) aus?
A: \[x_1\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots\\a_{m1}\end{pmatrix}+\dots+x_n\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots\\a_{mn}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}\]

Q: Vektoren \(v_1,\dots,v_n\) sind linear abhängig wenn ...
A: ... es Zahlen \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\) gibt, die nicht alle \(=0\) sind, und derart, dass
\[\lambda_1 v_1+\dots + \lambda_nv_n = 0\]

Q: Vektoren \(v_1,\dots,v_n\) sind linear unabhängig, wenn ...
A: ... eine verschwindende Linearkombination
\[\lambda_1v_1+\dots+\lambda_2v_2=0\]
notwendigerweise Koeffizienten \(\lambda_i=0\) für alle \(i\) hat.

Q: Vektorraum über dem Körper \(\Bbbk\)
A: Eine Menge \(V\) mit zwei Verknüpfungen, der Addition \((u,v)\mapsto u+v\) und der Multiplikationen mit Skalaren \((\lambda,u)\mapsto \lambda u\), die folgende Bedingungen erfüllen:
1. Die Verknüfungen sind assoziativ, also \((u+v)+w=u+(v+w)\) und \((\lambda\mu)v=\lambda(\mu v)\)
2. Die Addition ist kommutativ: \(u+v=v+u\)
3. Neutrales Element der Addition: 0\in V mit v+0=v\;\forall v\in V
4. Inverses Element der Addition: zu \(v\in V\) gibt es \(-v\in V\) mit \(v+(-v)=0\)
5. Distributivgesetze: \(\lambda(u+v)=\lambda u+ \lambda v\) und \((\lambda+\mu)u=\lambda u + \mu u\)

Q: Was ist ein Unterraum eines Vektorraumes \(V\)?
A: Eine Teilmenge \(U\subset V\) derart, dass \(U\) ein Vektorraum ist. Dies ist gleichbedeutend damit, dass \(U\) bezüglich der Addition von Vektoren und bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Q: Was ist der von den Vektoren erzeugter oder aufgespannter Unterraum der Vektoren \(v_1,\dots,v_n\in V\) erzeugte oder aufgespannte Unterraum eines Vektorraums \(V\) über \(\Bbbk\)?
A: Unterraum von \(V\) bestehend aus den Vektoren
\[U=\langle v_1,\dots, v_n\rangle=\left\{x_1v_1+\dots+x_nv_n\;|\;x_1,\dots,x_n\in\Bbbk\right\}\]

Q: Wie ist eine Basis eines Vektorraums definiert?
A: Eine Basis ist eine linear unabhängige Menge von Vektoren \(\mathcal{B} = \{b_1,\dots,b_n\}\), deren erzeugter Vektorraum \(\langle\mathcal{B}\rangle=\langle b_1,\dots,b_n\rangle=V\) ist

Q: Was sind die Koordinaten eines Vektors \(x\in V\) in einer Basis \(\{b_1,\dots,b_n\}\subset V\)
A: Zahlen \(x_1,\dots,x_n\in\Bbbk\) derart, dass
\[v=x_1b_1+\dots+x_nb_n\]

Q: Welche Vektoren bilden die Standardbasis des Vektorraumes \(\Bbbk^n\)?
A: Basis aus den Vektoren
\[e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix},e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix},\dots,e_n=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}\]

Q: Standardbasisvektor
A: Vektor mit lauter 0-Komponenten ausser einer, die 1 ist:
\[\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}\]

Q: Was ist die Dimension eines Unterraumes?
A: Anzahl der Vektoren einer Basis des Unterraumes.

Q: Koordinatenumrechnung zwischen zwei Basen \(\{b_1,\dots,b_n\}\) und \(\{b_1',\dots,b_n'\}\)
A: Die Umrechnung zwischen den Koordinaten kann durch Auflösung des Tableaus
[$$]
\begin{tabular}{|ccc|ccc|}
\hline
\(x_1\)&\(\dots\)&\(x_n\)&\(x_1'\)&\(\dots\)&\(x_n'\)\\
\hline
\(b_1\)&\(\dots\)&\(b_n\)&\(b_1'\)&\(\dots\)&\(b_n'\)\\
\hline
\end{tabular}
[/$$]
gefunden werden. Wenn im Schlusstableau auf der linken Seite eine Einheitsmatrix steht, dann liefern die Koeffizienten in der rechten Hälfte des Tableaus
[$$]
\begin{tabular}{|ccc|ccc|}
\hline
\(x_1\)&\(\dots\)&\(x_n\)&\(x_1'\)&\(\dots\)&\(x_n'\)\\
\hline
1&\(\dots\)&0&\(t_{11}\)&\(\dots\)&\(t_{1n}\)\\
\(\vdots\)&\(\vdots\)&\(\vdots\)&\(\vdots\)&\(\ddots\)&\(\vdots\)\\
0&\(\dots\)&1&\(t_{n1}\)&\(\dots\)&\(t_{nn}\)\\
\hline
\end{tabular}
[/$$]
 die Umrechnung von \(x_i'\)-Koordinaten in \(x_k\)-Koordinaten.

Q: Was ist eine \(m\times n\)-Matrix über \(\Bbbk\)?
A: Ein rechteckiges Zahlenschema mit \(m\) Zeilen und [$]n[/$] Spalten
\[A=\begin{pmatrix}a_{11}&\dots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&\dots&a_{mn}\end{pmatrix}\]
mit \(a_{ik}\in\Bbbk\) für alle \(i\) und \(k\).

Q: Wie ist das Produkt Matrix mal Vektor \(Av=w\) definiert?
A: Produkt einer \(m\times n\)-Matrix mit einem \(n\)-dimensionalen Spaltenvektor ist ein \(m\)-dimensionaler Spaltenvektor, bei dem das Element
\[w_i=a_{i1}v_1+\dots+a_{in}v_n\]
in Zeile \(i\) von \(w\) als Produkt der Zeile \(i\) von \(A\) und dem Spaltenvektor \(v\) ensteht.

Q: Wie sieht die Matrixschreibweise eines linearen Gleichungssystems mit Koeffizientenmatrix \(A\), Vektor der rechten Seiten \(b\) und Vektor der Unbekannten \(x\) aus?
A: \(Ax=b\)

Q: Wie lautet die Definition der Linearität des Produktes Matrix mal Vektor?
A: Für beliebige Vektoren \(u,v\) und Skalare \(\lambda,\mu\) gilt
\[A(u+v)=Au+Av\qquad\text{und}\qquad A(\lambda v) = \lambda Av\]
oder zusammengefasst
\[A(\lambda u+ \mu v)=\lambda Au + \mu Av\]

Q: Wie sind die linearen Operationen mit Matrizen definiert?
A: Für Matrizen \(A,B\) gleicher Grösse sind die Addition \(A+B\) und die Multiplikation mit Skalaren \(\lambda A\) elementweise definiert

Q: Wie ist die transponierte Matrix einer \(m\times n\)-Matrix \(A\) definiert?
A: Die transponierte Matrix ist die \(n\times m\)-Matrix \(A^t\) mit Einträgen \((A^t)_{ik}=a_{ki}\).

Q: Matrixelemente von \(A\)
A: Die Einträge im Zahlenschema
\[\begin{pmatrix}a_{11}&\dots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&\dots&a_{mn}\end{pmatrix}\]
auch geschrieben als
\[a_{ik}=(A)_{ik}\]

Q: Wie ist das Matrizenprodukt zweier Matrizen \(A\) und \(B\) definiert?
A: Das Produkt \(C=AB\) einer \(m\times r\)-Matrix \(A\) mit einer \(r\times n\)-Matrix \(B\) ist die \(m\times n\)-Matrix \(C\) mit dem Matrixelement \(c_{ik}\), der als Produkt der Zeile \(i\) von \(A\) und Spalte \(k\) von \(B\) entsteht:\[c_{ik}=a_{i1}b_{1k}+\dots +a_{ir}b_{rk}=\sum_{j=1}^r a_{ij}b_{jk}\]

Q: Wie sieht die Einheitsmatrix aus?
A: Diagonalmatrix der Form
\[I = \begin{pmatrix}1&0&\dots&0\\0&1&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&1\end{pmatrix}\]

Q: Was ergibt das Matrizenprodukt \(IA\)?
A: Die Multiplikation mit der Einheitsmatrix ändert eine Matrix nicht, daher ist \(IA=A\).

Q: Welche grundlegenden Eigenschaften hat das Matrizenprodukt?
A: 1. Assoziativ: \(A(BC)=(AB)C\)
2. Distributiv: \(A(B+C)=AB+AC\) und \((A+B)C=AC+BC\)
3. nicht kommutativ, im allgemeinen ist \(AB\ne BA\)
Diese Regeln zusammen mit der Linearität bedeuten, dass man mit Matrizen so rechnen kann, wie man es von der Algebra der Zahlen her gewohnt ist, solange man die Reihenfolge der Matrizenfaktoren nicht verändert.

Q: Was ist eine quadratische Matrix?
A: \(n\times n\)-Matrix, gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten

Q: Was ist eine Diagonalmatrix?
A: Eine Diagonalmatrix ist eine Matrix der Form
\[D=\begin{pmatrix}d_1&0&\dots&0\\0&d_2&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&d_n\end{pmatrix}\]
nur die Elemente \((D)_{ii}=d_i\) sind von \(0\) verschieden. Sie wird manchmal auch \(\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)\) geschrieben.
Die Einheitsmatrix \(I\) ist eine Diagonalmatrix.

Q: Was ist eine untere/obere Dreiecksmatrix?
A: Matrizen mit der Eigenschaft, dass alle Element oberhalb/unterhalb der Diagonalen \(=0\) sind:
\[\begin{pmatrix}a_{11}&0&\dots&0\\a_{21}&a_{22}&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{pmatrix}\qquad\text{bzw.}\qquad\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\0&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&a_{nn}\end{pmatrix}\]

Q: Die transponierte Matrix \((AB)^t\) eines Produktes ist ...
A: \(B^tA^t\), man beachte die Vertauschung der Faktoren

Q: Was ist die inverse Matrix?
A: Zu einer quadratischen Matrix \(A\) ist die inverse Matrix \(A^{-1}\) die Matrix mit \(A^{-1}A=I\) und \(AA^{-1}=I\)

Q: Wie bestimmt man die inverse Matrix \(C=A^{-1}\) mit dem Gauß-Algorithmus?
A: Gauß-Algorithmus für folgendes Tableau durchführen:
[$$]
\begin{tabular}{|ccc|ccc|}
\hline
\(x_1\)&\(\dots\)&\(x_n\)&\(b_1\)&\(\dots\)&\(b_n\)\\
\hline
\(a_{11}\)&\(\dots\)&\(a_{1n}\)&1&\(\dots\)&0\\
\(\vdots\)&\(\ddots\)&\(\vdots\)&\(\vdots\)&\(\ddots\)&\(\vdots\)\\
\(a_{n1}\)&\(\dots\)&\(a_{nn}\)&0&\(\dots\)&1\\
\hline
\end{tabular}
\to
\begin{tabular}{|ccc|ccc|}
\hline
\(x_1\)&\(\dots\)&\(x_n\)&\(b_1\)&\(\dots\)&\(b_n\)\\
\hline
1&\(\dots\)&0&\(c_{11}\)&\(\dots\)&\(c_{1n}\)\\
\(\vdots\)&\(\ddots\)&\(\vdots\)&\(\vdots\)&\(\ddots\)&\(\vdots\)\\
0&\(\dots\)&1&\(c_{n1}\)&\(\dots\)&\(c_{nn}\)\\
\hline
\end{tabular}
[/$$]

Q: Lösung des linearen Gleichungssystems \(Ax=b\) mit der inversen Matrix
A: \(x=A^{-1}b\)

Q: Was ist die Spur einer quadratischen Matrix \(A\)?
A: \(\operatorname{tr}A= a_{11}+\dots+a_{nn} = \sum_{i=1}^n a_{ii}\)

Q: Welche Rechenregeln gelten für die Spur einer Matrix?
A: 1. Addition: \(\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}A+\operatorname{tr}B\)
2. Skalarmultiplikation: \(\operatorname{tr}(\lambda A)=\lambda\operatorname{tr}(A)\)
3. Transposition: \(\operatorname{tr}(A^t)=\operatorname{tr}(A)\)
4. Vertauschung: \(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\)
5. Zyklische Vertauschung: \(\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BCA)\)

Q: Frobenius-Norm einer Matrix \(A\)
A: \(\|A\|_F = \operatorname{tr}(A^tA)\)

Q: Was ist das Hadamard-Produkt?
A: Das Hadamard-Produkt ist das elementweise Produkt \(A\odot B\) von Matrizen \(A\) und \(B\) mit Matrixelementen
\[(A\odot B)_{ik}=(A)_{ik}B_{ik}\]

Q: Welche Matrix ist das neutrale Element bezütlich des Hadamard-Produktes?
A: Eine Matrix \(U\) aus lauter Einsen:
\[U=\begin{pmatrix}1&1&\dots&1\\1&1&\dots&1\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&\dots&1\end{pmatrix}\]

Q: Durch welche Eigenschaft ist die Einheitsmatrix definiert?
A: Die Einheitsmatrix \(I\) ist das neutrale Element der Matrizenmultiplikation, sie ist also dadurch definiert, dass \(IA=A\) gilt für alle in Frage kommenden Matrizen \(A\).

Q: Was bedeutet die Notation \(\langle v_1,\dots,v_m\rangle\)?
A: Diese Notation bezeichnet den von den Vektoren \(v_1,\dots,v_n\) aufgespannten Unterraum des Raumes, aus dem die Vektoren stammen.

Q: Damit eine \(m\times n\)-Matrix \(A\) mit einer \(p\times q\)-Matrix \(B\) multipliziert werden kann, muss gelten, dass ...
A: ... die Anzahl der Spalten der Matrix \(A\) mit der Anzahl der Zeilen der Matrix \(B\) übereinstimmt: \(n=p\).

Q: Sind \(A\) und \(B\) invertierbare Matrizen, dann ist die Inverse des Produktes \(AB\) ausgedrückt durch \(A^{-1}\) und \(B^{-1}\)
A: \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\), man beachte die Reihenfolge der Faktoren!

Q: Welche von der Multiplikation der Zahlen her vertraute Eigenschaft hat die Matrizenmultiplikation nicht?
A: Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, d.h. im Allgemeinen ist \(AB\ne BA\).

Q: Woraus besteht die Gruppe \(\operatorname{GL}_n(\Bbbk)\).
A: Aus invertierbaren \(n\times n\)-Matrizen mit Koeffizienten in \(\Bbbk\).

Q: Was bedeutet die Notation \(M_n(\Bbbk)\)
A: Quadratische \(n\times n\)-Matrizen mit Einträgen in \(\Bbbk\).

Q: Was bedeutet die Notation \(M_{m\times n}(\Bbbk)\)?
A: \(m\times n\)-Matrizen mit Einträgen in \(\Bbbk\).

Q: Was ist der Rang einer Matrix?
A: Die folgenden Definitionen sind äquivalent:
- Die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten der Matrix
- Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen der Matrix
- Die Grösse des Einheitsblocks in der linken oberen Ecke des Schlusstableaus bei der Durchführung des Gauß-Algorithmus