Title: Lineare Algebra / 14 Positive Matrizen

Q: Was ist ein Graph?
A: Ein Graph ist eine Menge \(V\) von Knoten (Vertices) und eine Menge \(E\) von Kanten (Edges), Kanten sind zweielementige Teilmengen \(k=\{a,b\}\), die Elemente heißen auch die Endpunkte der Kante.

Q: Was ist ein gerichteter Graph?
A: Ein gerichteter Graph ist eine Menge \(V\) von Knoten und eine Menge \(E\) von gerichteten Kanten. Eine Kante ist ein Paar \((a,e)\), \(a\) heißt der Anfangspunkt, \(b\) der Endpunkt der Kante.

Q: Wie ist die Adjazenzmatrix eines (gerichteten) Graphen definiert?
A: Die Adjazenzmatrix eines Graphen mit \(n\) Knoten ist eine \(n\times n\)-Matrix, die als Eintrag in Zeile \(i\) und Spalte \(j\) genau dann eine 1 enthält, wenn \(\{i,j\}\) (\((i,j)\)) eine (gerichtete) Kante des Graphen ist, und 0 sonst.

Q: Was ist eine Wahrscheinlichkeitsmatrix?
A: Eine Wahrscheinlichkeitsmatrix ist eine Matrix, deren Spalten Wahrscheinlichkeitsvektoren sind, also Summe 1 haben.

Q: Was ist ein Wahrscheinlichkeitsvektor?
A: Ein Wahrscheinlichkeitsvektor ist ein Vektor, dessen Einträge sich zu 1 summieren.

Q: Was ist eine nichtnegative Matrix?
A: Eine nichtnegative Matrix ist eine Matrix, deren Einträge \(\ge 0\) sind.

Q: Was ist eine positive Matrix?
A: Eine positive Matrix ist eine Matrix, deren Einträge alle positiv sind.

Q: Wie ist \(A<B\) für Matrizen \(A\) und \(B\) definiert?
A: Es ist genau dann \(A<B\), wenn \(B-A\) eine positive Matrix ist.

Q: Was ist die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes?
A: Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes \(\lambda\) ist die Anzahl der Faktoren \((X-\lambda)\), die im charakteristischen Polynome der Matrix auftreten.

Q: Was ist die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes?
A: Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraumes zu diesem Eigenwerte, also die Dimension des Nullraums von \(A-\lambda I\).

Q: Was ist der Spektralradius \(\varrho(A)\) einer Matrix?
A: Der Spektralradius ist der Betrag des betragsgrössten Eigenwertes einer Matrix.

Q: Was besagt der Satz von Perron-Frobenius über eine positive Matrix \(A\)?
A: Eine positive Matrix hat \(\varrho(A)\) als Eigenwert mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit 1.

Q: Wie kann man den Spektralradius ohne Berechnung der Eigenwerte bestimmen?
A: Für den Spektralradius gilt\[\varrho(A)=\pi(A)=\lim_{n\to\infty} \|A^n\|^{\frac1n}\]Der Grenzwert \(\pi(A)\) heißt auch der Gelfand-Radius von \(A\).