Title: Lineare Algebra / 07 Skalarprodukt

Q: Wie sieht die Matrix zur Vertauschung zweier Achsen aus?
A: \[\begin{pmatrix}1&\dots&0&\dots&0&\dots&0\\\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&\dots&0&\dots&1&\dots&0\\\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&\dots&1&\dots&0&\dots&0\\\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&\dots&0&\dots&0&\dots&1\end{pmatrix}\]

Q: Was ist \(p_{\vec{u}}(\vec{v})\)?
A: Projektion des Vektors \(\vec{v}\) auf die Richtung des Vektors \(\vec{u}\). Hängt nicht von der Länge von \(\vec{u}\) ab.

Q: Zwischenwinkel und Projektion \(p_{\vec{u}}(\vec{v})\)
A: \[\cos\alpha=\frac{p_{\vec{u}}(\vec{v})}{p_{\vec{v}}(\vec{v})}\]

Q: Wie hängen Vektorlänge und Projektion zusammen?
A: \(|\vec{u}|=p_{\vec{u}}(\vec{u})\)

Q: Definition des Skalarprodukts zweier Vektoren?
A: \[\vec{a}\cdot\vec{b}:=p_{\vec{a}}(\vec{a})p_{\vec{b}}(\vec{b})\cos\alpha=|\vec{a}|\;|\vec{b}|\cos\alpha\]
mit \(\alpha\) Zwischenwinkel zwischen \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\).

Q: Was besagt der Kosinus-Satz?
A: \[a^2 = b^2 + c^2 -2bc\cos\alpha\]

Q: Skalarprodukt zweier Vektoren in der Standardbasis
A: \[\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}=a_1b_1+\dots+a_nb_n=\sum_{i=1}^n a_ib_i\]

Q: Wie kann man das Skalarprodukt in Matrizennotation schreiben?
A: \[\vec{a}\cdot\vec{b}=a^t\,b\]

Q: Was ist die Normalenform einer Ebene?
A: \[\vec{n}\cdot (\vec{p}-\vec{p}_0)=0\]
mit
- \(\vec{n}\): Normalenvektor
- \(\vec{p}_0\): Stützvektor

Q: Wie hängen die Hessesche Normalform und der Abstand eines Punkes von einer Ebene zusammen?
A: Der Abstand eines Punktes mit Ortsvektor [$]\vec{p}[/$] von einer Ebene wird durch
\[d=\vec{n}^0\cdot (\vec{p}-\vec{p}_0)\]
gegeben mit
- \(\vec{n}\): Normalenvektor
- \(\vec{n}^0\): Normaleneinheitsvektor
- \(\vec{p}_0\): Stützvektor
Die Hessesche Normalform ist die Ebenengleichung der Form \[\vec{n}^0\cdot(\vec{p}-\vec{p_0})=0\]
Die Lösungsmenge besteht aus den Ortsvektoren, die zu Punkten mit Abstand 0 von der Ebene gehören.

Q: Was ist ein Einheitsvektor?
A: Vektor mit Länge 1. Achtung Verwechslungsgefahr: die Standardbasisvektoren sind zwar bezüglich des Standardskalarproduktes ebenfalls Einheitsvektoren, aber die meisten Einheitsvektoren sind keine Standardbasisvektoren.

Q: Was bedeutet die Notation \(\vec{v}^0\)?
A: Einheitsvektor mit der Richtung von \(\vec{v}\):
\[\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\]

Q: Wie ist die Norm eines Vektors definiert?
A: \(|\vec{v}|^2=\vec{v}\cdot\vec{v}\) bzw. \(|\vec{v}|=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}\)

Q: Wie berechnet man die Komponenten von \(\vec{v}\) parallel und orthogonal zu \(\vec{u}\)
A: - parallel: \(\vec{v}_{\|} = (\vec{v}\cdot\vec{u}^0)\vec{u}^0\)
- orthogonal: \(\vec{v}_{\perp} = \vec{v}-\vec{v}_{\|}\)

Q: Wie berechnet man die Spiegelung eines Vektors \(\vec{v}\) ein einer Ebene durch 0 mit Normale \(\vec{n}\)?
A: \[\vec{v}-2\vec{v}_{\|}=\vec{v}-2(\vec{v}\cdot\vec{n}^0)\vec{n}^0\]

Q: Was ist eine Orthogonalbasis?
A: Basis aus Vektoren, die orthogonal sind.

Q: Was heißt, zwei Vektoren sind orthogonal (bezüglich eines Skalarprodukes)?
A: Vektoren, deren Skalarprodukt \(=0\) ist.

Q: Eine Basis \(\mathcal{B}=\{b_1,\dots,b_n\}\) ist orthonormiert, wenn ...
A: ... die Vektoren \(b_i\) senkrecht stehen und Länge 1 haben, oder
\[b_i\cdot b_j = \delta_{ij}\quad\forall i,j\]

Q: Was ist das Kronecker-Delta?
A: Matrixelemente der Einheitsmatrix
\[\delta_{i\!j}=(I)_{i\!j}=\begin{cases}1&\qquad i=j\\0&\qquad\text{sonst}\end{cases}\]

Q: Wie erreicht man Orthonormalisierung einer gegebenen Menge von Vektoren?
A: Prozess nach Gram-Schmidt, mit dem Vektoren \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\dots,\vec{a}_n\) orthonormiert gemacht werden können:
\[\begin{aligned}\vec{b}_1&=\frac{\vec{a}_1}{|\vec{a}_1|}\\\vec{b}_2&=\frac{\vec{a}_2-(\vec{b}_1\cdot\vec{a}_2)\vec{b}_1}{|\vec{a}_2-(\vec{b}_1\cdot\vec{a}_2)\vec{b}_1|}\\\vec{b}_3&=\frac{\vec{a}_3-(\vec{b}_1\cdot\vec{a}_3)\vec{b}_1-(\vec{b}_2\cdot\vec{a}_3)\vec{b}_2}{|\vec{a}_3-(\vec{b}_1\cdot\vec{a}_3)\vec{b}_1-(\vec{b}_2\cdot\vec{a}_3)\vec{b}_2|}\\&\vdots\\\vec{b}_n&=\frac{\vec{a}_n-(\vec{b}_1\cdot\vec{a}_n)\vec{b}_1-\dots-(\vec{b}_{n-1}\cdot\vec{a}_{n})\vec{b}_{n-1}}{|\vec{a}_n-(\vec{b}_1\cdot\vec{a}_n)\vec{b}_1-\dots-(\vec{b}_{n-1}\cdot\vec{a}_{n})\vec{b}_{n-1}|}\end{aligned}\]

Q: Was ist eine orthogonale Matrix?
A: Matrix \(O\) mit einer der folgenden Eigenschaften
- \(OO^t=I\)
- \(O^{-1}=O^t\)
- Die Spalten von \(O\) sind orthonormiert
- Die Zeilen von \(O\) sind orthonormiert
- Das Skalarprodukt zweier Vektoren ändert nicht, wenn beide mit O multipliziert werden: \[\vec{a}\cdot\vec{b} = (O\vec{a})\cdot(O\vec{b})\]

Q: Spiegelungsmatrix: Matrix der Spiegelung an der Ebene mit Normale \(\vec{n}\) durch den Nullpunkt
A: \[S_{\vec{n}}=I- 2n\,n^t\]

Q: Drehwinkelformel für eine Drehmatrix \(D\) in der Ebene
A: \[\cos\alpha = \frac{\operatorname{tr}(D)}{2}\]

Q: Wie berechnet man den Drehwinkelformel für eine Drehmatrix \(D\) des dreidimensionalen Raumes
A: \[\cos\alpha=\frac{\operatorname{tr}(D)-1}{2}\]

Q: Was ist die Gram-Matrix?
A: Zu einer Basis \(\mathcal{B}=\{b_1,\dots,b_n\}\) und einem Skalarprodukt \(\langle\,\;,\;\rangle\) ist die Gram-Matrix eine symmetrische Matrix, deren Einträge die Skalarprodukte der Basisvektoren sind:
\[(G)_{ik}=\langle b_i,b_k\rangle\]

Q: Verallgemeinertes Skalarprodukt mit Gram-Matrix \(G\)
A: Das verallgemeinerte Skalarprodukt zweier Vektoren \(u\) und \(v\) mit Koordinaten \(u_i\) und \(v_k\) in der Basis, die zur Gram-Matrix gehört, ist
\[\langle u,v\rangle=\langle u,v\rangle_G=\sum_{i,k=1}^n g_{ik}u_iv_k,\]
wobei \(g_{ik}=(G)_{ik}\) die Matrixelemente der Gram-Matrix sind.
Die Gram-Matrix dieses Skalarproduktes ist wieder \(G\).

Q: Was besagt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung?
A: \[|\vec{u}\cdot \vec{v}|\le|\vec{u}|\,|\vec{v}|\]mit Gleichheit genau dann, wenn \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) linear abhängig sind.

Q: Was besagt die Dreiecksungleichung?
A: \[|\vec{a}+\vec{b}| \le |\vec{a}|+|\vec{b}|\]
mit Gleichheit genau dann, wenn \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) linear abhängig sind.

Q: Vektorform einer Kreis-/Kugelgleichung
A: \((\vec{p}-\vec{m})\cdot(\vec{p}-\vec{m})=r^2\)
- \(\vec{m}\): Ortsvektor des Mittelpunktes
- \(r\): Radius des Kreises/der Kugel

Q: Wie sieht die Mittelpunktsform einer Kreisgleichung aus?
A: \((x-m_x)^2+(y-m_y)^2 = r^2\)
- \(M=(m_x,m_y)\): Mittelpunkt des Kreises
- \(r\): Radius des Kreises

Q: Wie findet man die bestmögliche Lösung von \(Ax=b\) im Sinne kleinster Quadrate?
A: \[x=(A^tA)^{-1}A^tb\]

Q: Wie sieht die Drehmatrix des dreidimensionalen Raumes um die \(z\)-Achse um den Winkel \(\alpha\) aus?
A: \[D_{z,\alpha} = \begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha&0\\\sin\alpha&\cos\alpha&0\\0&0&1\end{pmatrix}\]

Q: Was sind Euler-Winkel?
A: Die Euler-Winkel beschreiben eine Drehung des Raumes durch drei aufeinanderfolgende Drehungen um die \(z\)-, die \(x\)- und nochmals um die \(z\)-Achse.

Q: Wie lautet die Parallelogrammidentität für die Vektoren u und v?
A: \[\|u+v\|^2+\|u-v\|^2 = 2\|u\|^2 +2\|v\|^2\]

Q: Wie kann man das Skalarprodukt aus der Norm zurückgewinnen?
A: Mit der Polarisationsformel\[\langle u,v\rangle = \frac14(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2)\]

Q: Was bedeutet Least Squares?
A: Die Lösung eines Gleichungssystems wird nicht exakt gesucht, sondern nur im Sinne des kleinsten quadratischen Fehlers.