Title: Lineare Algebra / 12 Matrixzerlegungen / 4 QR-Zerlegung

Q: Wie ist die QR-Zerlegung definiert?
A: Zerlegung einer Matrix in der Form
\[A=QR\]
- \(Q\): orthogonale Matrix
- \(R\): obere Dreiecksmatrix
Die Matrix \(Q\) kann durch Orthogonalisierung der Spalten von \(A\) mit Hilfe des Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahrens bestimmt werden, die Matrix \(R\) ist dann \(Q^{-1}A=Q^tA=R\)

Q: Wie kann die QR-Zerlegung bestimmt werden?
A: 1. Mit Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren kann eine orthonormierte Basis gefunden werden, deren Spalten bilden die Matrix \(Q\)
2. Die Matrix \(R\) kann aus \(A=QR\) durch Multiplikation mit \(Q^{-1}=Q^t\) von links als \(R=Q^tA\) bestimmt werden.

Q: Was ist ein Reflektor?
A: Ein Reflektor ist eine orthogonale Matrix, die eine Spiegelung beschreibt, die zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) vertauscht. Reflektoren können verwendet werden, um die QR-Zerlegung einer Matrix iterativ zu bestimmen.