Title: Lineare Algebra / 06 Affine Vektorgeometrie

Q: Drehmatrix der Ebene um den Winkel \(\alpha\)
A: \[D_\alpha=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\]

Q: Wie sieht die Parameterdarstellung einer Geraden aus?
A: \(\vec{p}=\vec{p}_0 + t\vec{r}\)
- \(\vec{p}_0\): Stützvektor
- \(\vec{r}\): Richtungsvektor
- \(t\): Parameter

Q: Wie sieht die Punkt-Richtungs-Form einer Geraden aus?
A: \(\vec{p}=\vec{p}_0 + t\vec{r}\)
- \(\vec{p}_0\): Stützvektor
- \(\vec{r}\): Richtungsvektor
- \(t\): Parameter

Q: Was versteht man unter der Parameterdarstellung einer Ebene?
A: \(\vec{p} = \vec{p}_0 + t\vec{r}_1 + s\vec{r}_2\)
- \(\vec{p}_0\): Stützvektor
- \(\vec{r}_1,\vec{r}_2\): Richtungsvektoren
- \(t, s\): Parameter

Q: Wie sieht die Punkt-Richtungs-Form einer Ebene aus?
A: \(\vec{p} = \vec{p}_0 + t\vec{r}_1 + s\vec{r}_2\)
- \(\vec{p}_0\): Stützvektor
- \(\vec{r}_1,\vec{r}_2\): Richtungsvektoren
- \(t, s\): Parameter

Q: Geometrisch ist die Lösungsmenge einer einzelnen linearen Gleichung \(l(x)=b\dots\)
A: ... eine Gerade in der Ebene oder eine Ebene im dreidimensionalen Raum

Q: Welche Eigenschaften definieren eine lineare Abbildung \(\varphi\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\)?
A: Linearität, d.h.:
- \(\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)\) für alle \(x,y\in\mathbb{R}^n\)
- \(\varphi(\lambda x)=\lambda\varphi(x)\) für alle \(x\in\mathbb{R}^n, \lambda\in\mathbb{R}\)

Q: Was braucht man, um eine lineare Abbildung durch eine Matrix darzustellen?
A: Eine Basis \(\mathcal{B}=\{b_1,\dots,b_n\}\). Die Spalte \(k\) der Matrix enthält die Koeffizienten \(a_{ik}\), die benötigt werden, um das Bild \(\varphi(b_k)\) des \(k\)-ten Basisvektors durch die anderen Basisvektoren auszudrücken, also\[\varphi(b_k) = a_{1k}b_1 + \dots + a_{nk}b_n\]
Oder kurz: in den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren.

Q: Wie ändert sich die Matrix einer Abbildung, wenn man die Basis wechselt.
A: Wenn die Koordinatentransformation mit der Matrix \(T\) beschrieben wird, dann ist die Matrix in der neuen Basis durch \(TAT^{-1}\) gegeben, wenn sie in der alten Basis durch \(A\) gegeben war.

Q: Wie berechnet man die Schnittgerade zweier in Parameterdarstellung gegebener Ebenen im dreidimensionalen Raum?
A: Man schreibt die Parameterdarstellung der Ebenen in eine Gauß-Tableau mit 6 Zeilen und 7 Spalten und führt den Gaussalgorithmus durch. Wenn die Ebenen eine Schnittgerade haben, bleibt genau eine frei wählbare Variable. In der Spalte dieser frei wählbaren Variable kann man den Richtungsvektor der Schnittgerade ablesen, auf der rechten Seite den Stützvektor.