Title: Lineare Algebra / 05 Polynome

Q: Was ist der Grad eines Polynoms?
A: Der Exponent der höchsten vorkommenden Potenz.

Q: Welchen Grad hat das konstante Polynom \(p(X)=1\)?
A: 0

Q: Welchen Grad hat das Nullpolynom?
A: \(-\infty\)

Q: Was ist der Leitkoeffizient eines Polynoms \(p(X)=p_0+p_1X+p_2X^2+\dots + p_{n-1}X^{n-1}+p_nX^n\)?
A: Der Koeffizient der höchsten Potenz, also \(p_n\).

Q: Was ist ein normiertes Polynom?
A: Ein Polynom, dessen Leitkoeffizient 1 ist.

Q: Welche drei Rechenregeln gelten für den Grad eines Polynoms?
A: 1. \(\deg(a(X)\cdot b(X)) = \deg a(X) + \deg b(X)\)
2. \(\deg (a(X)+b(X)) \le \max(\deg a(X),\deg b(X))\)
3. \(\deg\lambda a(X) = \deg a(X)\) für \(\lambda\ne 0\)

Q: Zu gegebenen Polynomen \(a(X)\) und \(b(X)\) liefert der Polynomdivisionsalgorithmus zwei Polynome \(q(X)\) und \(r(X)\) mit der Eigenschaft, dass ...
A: \(a(X)=b(X)\cdot q(X) + r(X)\)

Q: Was ist das Minimalpolynom einer Matrix \(A\)?
A: Das normierte Polynom \(m(X)\) kleinsten Grades, für das \(m(A)=0\) gilt.

Q: Was ist eine nilpotente Matrix?
A: Eine Matrix \(N\) heisst nilpotent vom Nilpotenzgrad \(n\), wenn \(N^k=0\) für alle \(k\ge n\).