Title: Lineare Algebra / 02 Gleichungssysteme

Q: Ein Gleichungssystem hat linear abhängige Zeilen, wenn ...
A: ... es für die Zeilen \(l_1,\dots,l_n\) Zahlen \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\) gibt, die nicht alle \(=0\) sind, und derart, dass \[\lambda_1l_1+\dots+\lambda_nl_n = 0\]

Q: Wie ist eine lineare Funktion von einer Variablen definiert?
A: Eine Funktion \(f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) heisst linear, wenn für \(x,y,\lambda\in\mathbb{R}\) gilt, dass\[\begin{aligned}f(x+y)&=f(x)+f(y)\\ f(\lambda x)&=\lambda f(x).\end{aligned}\]

Q: Was ist eine Linearform?
A: Eine Linearform ist eine Funktion von \(n\) Variablen, die linear ist in allen Argumenten. Dies bedeutet, dass für \(x_i,y_i,\lambda,\mu\in\mathbb{R}\) gilt
\(\begin{aligned} f(\lambda x_1+\mu y_1,\dots,\lambda x_n+\mu y_n) &= \lambda f(x_1,\dots,x_n) + \mu f(y_1,\dots,y_n) \end{aligned}\)

Q: Wie sieht ein lineares Gleichungssystem mit \(m\) Gleichungen und \(n\) Unbekannten aus?
A: \(m\) Linearformen \(l_u(x_1,\dots,x_n)\) mit \(n\) Variablen \(x_1,\dots,x_n\) und \(m\) rechte Seiten \(b_i\in\mathbb{R}\) bilden ein lineares Gleichungssystem\[\begin{aligned} l_1(x_1,\dots,x_n)&=b_1\\ &\;\vdots\\ l_m(x_1,\dots,x_n)&=b_m \end{aligned}\]

Q: Was ist eine Lösung eines linearen Gleichungsystems?
A: Eine Lösung eines linearen Gleichungssystems mit den Gleichungen \(l_i(x_1,\dots,x_n)=b_i,\; i=1,\dots,m\) ist ein \(m\)-Tupel \((x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n\) derart, dass alle Gleichungen erfüllt sind.

Q: Was ist die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems?
A: Die Menge aller Lösungs-\(n\)-Tupel eines linearen Gleichungssystems

Q: Was ist die Pivotdivision?
A: Bei der Pivotdivision eine Zeile oder Linearform in einem linearen Gleichungssystem durch den Koeffizienten an einer ausgwählten Stelle, auch genannt das Pivotelement, dividiert.

Q: Was ist ein Pivotelement?
A: Ein Pivotelement ist ein ausgewähltes Element im Koeffizientenschema eines linearen Gleichungssystems, mit dem nachfolgend weitere Operationen wie Pivotdivision oder Zeilenreduktion durchgeführt werden sollen.

Q: Was ist die Vorwärtsreduktion?
A: Erste Phase des Gauss-Algorithmus, in der durch Anwendung von Pivot-Division und Zeilenreduktion Dreiecksform des Koeffizientenschemas mit Einsen auf der Diagonalen angestrebt wird. Möglicherweise sind dazu Zeilen- oder Spaltenvertauschungen erforderlich. Die Lösung wird durch das nachfolgende Rückwärtseinsetzen vollständig bestimmt.

Q: Was ist das Rückwärtseinsetzen?
A: Zweite Phase des Gauß-Algorithmus, während der die nach der Vorwärtsreduktion verbliebenen Tableaueinträge im rechten oberen Teil durch Zeilenreduktion mit den in der ersten Phase verwendeten Pivotelementen zu 0 reduziert werden. Das verbleibende Tableau erlaubt, in der Spalte ganz rechts die Lösung abzulesen.

Q: Was ist eine homogene lineare Gleichung?
A: eine Gleichung der Form \(l(x_1,\dots,x_n) = 0\) für eine Linearform \(l(x_1,\dots,x_n)\)

Q: Was ist eine inhomogene lineare Gleichung?
A: Gleichung der Form \(l(x_1,\dots,x_n)=b\) für eine Linearform \(l(x_1,\dots,x_n)\) und \(b\ne 0\)

Q: Was ist ein homogenes lineares Gleichungssystem?
A: Gleichungssystem aus lauter homogenen Gleichungen

Q: Was ist ein inhomogenes lineares Gleichungssystem?
A: Lineares Gleichungssystem mit mindestens einer inhomogenen Gleichung

Q: Was ist eine nichttriviale Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystems?
A: Eine Lösung, in der nicht alle Unbekannten \(=0\) sind.

Q: Wieviele Lösungen kann ein lineares Gleichungssystem über \(\mathbb{Q}\) oder \(\mathbb{R}\) haben?
A: Kein, genau eine oder unendlich viele

Q: Wieviele Lösungen kann ein homogenes lineares Gleichungssystem über \(\mathbb{Q}\) oder \(\mathbb{R}\) haben? (mit Begründung)
A: Da ein homogenes lineares Gleichungssystem immer die triviale Lösung hat, gibt es immer eine oder unendlich viele Lösungen.

Q: Was ist eine triviale Lösung eines linearen Gleichungssystems?
A: Die Lösung, in der alle Variablen \(=0\) sind.

Q: Wie sieht die Tableau-Schreibweise eines linearen Gleichungssystems mit Koeffizienten \(a_{ik}\) und rechten Seiten \(b_i\)
A: Ein lineares Gleichungssystem mit Koeffizienten \(a_{ik}\), Unbekannten \(x_k\) und rechten Seiten \(b_i\) hat das Tableau
[$$]\begin{tabular}{|ccc|c|}
\hline
\(x_1\)&\(\dots\)&\(x_n\)&1\\
\hline
\(a_{11}\)&\(\dots\)&\(a_{1n}\)&\(b_1\)\\
\(\vdots\)&\(\ddots\)&\(\vdots\)&\(\vdots\)\\
\(a_{m1}\)&\(\dots\)&\(a_{mn}\)&\(b_m\)\\
\hline
\end{tabular}
[/$$]

Q: Welche Zeilenoperationen sind in einem Tableau möglich
A: Zwei mögliche Operationen
1. Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar
2. Addition einer Zeile zu einer anderen

Q: Wann nennt man ein lineares Gleichungssystem regulär?
A: Ein lineares Gleichungssystem heisst regulär, wenn es genau eine Lösung hat.

Q: Wann nennt man ein lineares Gleichungssystem singulär?
A: Ein lineares Gleichungssystem heißt singulär, wenn es keine oder unendlich viele Lösungen hat.

Q: Wofür steht die Abkürzung "rref"
A: Reduzierte Zeilenstufenform oder reduced row echelon form.

Q: Wie entsteht die reduzierte Zeilenstufenform eines Gleichungssystems?
A: Spezielle Form des Schlusstableaus nach der Durchführung des Gauß-Algorithmus, bei der keine Spaltenvertauschungen durchgeführt worden sind und immer nur diejenigen Zeilenvertauschungen, die sicherstellen, dass die Nullzeilen am Ende des Tableaus stehen. Die Spalten zu frei wählbaren Variablen stehen nicht notwendigerweise nach den Spalten mit den Pivot-Elementen.

Q: Wie lautet die Lösungsmenge des Gleichungssystems mit dem Schlusstableau
[$$]
\begin{tabular}{|rrr|r|}
\hline
\(x_1\)&\(x_2\)&\(x_3\)&1\\
\hline
\(1\)&\(0\)&\(3\)&\(7\)\\
\(0\)&\(1\)&\(-4\)&\(-2\)\\
\(0\)&\(0\)&\(0\)&\(0\)\\
\hline
\end{tabular}
[/$$]
A: Die Lösungsmenge hat die Form
\[\begin{aligned}\mathbb{L}&=\left\{(x_1=7-3x_3, x_2=-2+4x_3,x_3)\,|\, x_3\in\mathbb{R}\right\}\\&=\left\{\left.\begin{pmatrix}7\\-2\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}-3\\4\\1\end{pmatrix}\right|x_3\in\Bbbk\right\}\end{aligned}\]

Q: Wann sind die Spalten im Tableau
[$$]
\begin{tabular}{|ccc|}
\hline
\(a_{11}\)&\(\dots\)&\(a_{1n}\)\\
\(\vdots\)&\(\ddots\)&\(\vdots\)\\
\(a_{m1}\)&\(\dots\)&\(a_{mn}\)\\
\hline
\end{tabular}
[/$$]
linear abhängig?
A: Wenn das homogene Gleichungssystem mit dem Tableau
[$$]
\begin{tabular}{|ccc|c|}
\hline
\(x_1\)&\(\dots\)&\(x_n\)&\(1\)\\
\hline
\(a_{11}\)&\(\dots\)&\(a_{1n}\)&\(0\)\\
\(\vdots\)&\(\ddots\)&\(\vdots\)&\(\vdots\)\\
\(a_{m1}\)&\(\dots\)&\(a_{mn}\)&\(0\)\\
\hline
\end{tabular}
[/$$]
eine nichttriviale Lösung hat.

Q: Wie findet man heraus, ob die Gleichungen eines Gleichungssystems linear abhängig sind?
A: Die Zeilen sind genau dann linear abhängig, wenn sich bei der Durchführung des Gauß-Algorithmus eine Nullzeile ergibt.

Q: In der Bezeichnung \(a_{ik}\) indiziert der erste Index \(i\) die ... und der zweite \(k\) die ...
A: Der erste Index indiziert die Zeilen, der zweite die Spalten.

Q: Die Definition der Linearität einer Funktion verlangt zwei Bedingungen, die erfüllt sein müssen, eine für die Addition und eine für die Multiplikation mit Skalaren. Diese können auch in eine einzige Bedingung zusammengefasst werden. Wie lautet diese zusammengefasste Bedingung?
A: Die Funktion \(f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) heißt linear, wenn für alle \(x,y,\lambda,\mu\in\mathbb{R}\) die Gleichung\[f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y)\]gilt.

Q: Wie funktioniert der gaußsche Eliminationsalgorithmus?
A: Ausgehend von einem als Tableau geschriebenen Gleichungssystem wird das Tableau zuerst in der Phase der Vorwärtsreduktion so reduziert, dass im linken unteren Teil lauter Nullen und auf der Diagonalen lauter Einsen stehen. In der nachfolgenden Phase des Rückwärtseinsetzens werden die Einträge oberhalb der Diagonale mit Zeilenoperationen zu Null gemacht. Die Lösung kann dann in der Spalte rechts abgelesen werden.

Q: Welche Informationen über ein lineares Gleichungssystem kann man aus dem Schlusstableau ablesen?
A: 1. Der Rang des Gleichungssystems ist die Grösse \(r\) des Einerblocks, der links oben im Tableau entsteht.
2. Nullzeilen im linken Teil des Tableaus zeigen lineare Abhängigkeiten der Linearformen untereinander an.
3. Die Elemente auf der rechten Seite von Nullzeilen geben an, ob das Gleichungssystem überhaupt eine Lösung hat.
4. Die Variablen rechts vom Einerblock sind unbestimmte Variablen, sie sind frei wählbar.
5. Falls das Gleichungssystem Lösungen hat (Punkt 4) gibt die Anzal der frei wählbaren Variablen an, wieviele Lösungen das Gleichungssystem hat.

Q: Wie bestimmt man die Anzahl der Lösungen eines linearen Gleichungssystems?
A: 1. Gauß-Algorithmus durchführen bis zum Schlusstableau
2. Falls es Nullzeilen gibt mit nicht verschwindenden Elementen auf der rechten Seite, hat das Gleichungssystem keine Lösung.
3. Andernfalls, und falls es frei wählbare Variablen gibt, hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.
4. Andernfalls hat das Gleichungssystem genau eine Lösung.

Q: Wie leitet man die Lösungsmenge aus dem Schlusstableau ab?
A: Die frei wählbaren Variablen sind Parameter für die Lösungsmenge. Die zugehörigen Spalten werden auf die rechte Seite gebracht und bekommen damit ein Minuszeichen. Damit wird nach den bestimmten Variablen aufgelöst, die sich somit aus den frei wählbaren Variablen berechnen lassen.

Q: Man weiß, dass die Linearformen eines Gleichungssystems mit \(m\) Gleichungen linear abhängig sind. Wie bestimmt man Zahlen \(\lambda_1,\dots,\lambda_m\) derart, dass \[\lambda_1l_1+\dots+\lambda_ml_m=0\]ist?
A: Die Koeffizienten des Gleichungssystems werden mit vertauschten Zeilen und Spalten in ein Tableau mit 0 als rechter Seite geschrieben. Dies ist ein Gleichungssystem zur Bestimmung der \(\lambda_i\). Wenn es eine nichttriviale Lösung hat, sind die Linearformen linear abhängig und die \(\lambda_i\) der Lösung erfüllen \[\lambda_1l_1+\dots+\lambda_ml_m=0.\]

Q: Was ist der Rang eines Gleichungssystems?
A: Die Grösse des Einheitsblocks in der linken oberen Ecke des Gauß-Tableau bei der Durchführung des Gauß-Algorithmus. Wenn das Gleichungssystem eine Lösung hat, dann ist der Rang die maximale Zahl der linear unabhängigen Gleichungen, die die gleiche Lösungsmenge haben.