Title: Lineare Algebra / 13 Normalformen

Q: Nilpotente Matrix
A: Matrix mit der Eigenschaft \(A^n=0\) für \(n\ge p\). Durch Wahl einer geeigneten Basis kann sie in die Normalform einer nilpotenten Matrix gebracht werden.

Q: Wie sieht die Normalform einer nilpotenten Matrix aus?
A: Sie ist eine Blockmatrix aus Blöcken der Form
\[\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix},\]
die nur Nullen enthalten ausser unmittelbar oberhalb der Diagonalen, wo Einsen stehen.

Q: Wie sieht ein Jordan-Block aus?
A: Ein Jordan-Block ist eine Matrix der Form
\[\begin{pmatrix}\lambda&1&0&0&\dots&0&0\\0&\lambda&1&0&\dots&0&0\\0&0&\lambda&1&& &0\\[-3pt]0&0&0&\lambda&\ddots& & \\[-3pt]\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&0&0&0&\dots&\lambda&1\\0&0&0&0&\dots&0&\lambda\end{pmatrix}\]

Q: Wie sieht die Jordan-Normalform einer Matrix aus?
A: Sie ist eine Blockmatrix bestehend aus Jordan-Blöcken

Q: Was ist der iterierte Kern einer Matrix \(A\)?
A: Der \(n\)-fach iterierte Kern ist der Kern von \(A^n\)

Q: Was ist der stationäre iterierte Kern einer Matrix?
A: Der iterierte Kern \(\mathcal{K}^k(A)\) einer Matrix wird mit zunehmendem \(k\) nicht kleiner. Da der Raum endlichdimensional ist, wird der iterierte Kern ab einem gewissen \(k\) nicht mehr grösser und bleibt stationär. Dies ist der stationäre iterierte Kern.

Q: Was ist das iterierte Bild einer Matrix?
A: Das \(k\)-fach iterierte Bild \(\mathcal{J}^k(A)\) ist das Bild von \(A^k\)

Q: Was ist das stationäre iterierte Bild einer Matrix?
A: Die iterierten Bilder \(\mathcal{J}^k(A)\) einer Matrix nehmen nicht ab. Wegen der endlichen Dimension des Raumes bleiben sie ab einem gewissen \(k\) gleich, dies ist das stationäre iterierte Bild.

Q: Was ist der verallgemeinerte Eigenraum einer Matrix zum Eigenwert \(\lambda\)
A: Der verallgemeinerte Eigenraum ist der stationäre iterierte Kern von \(A-\lambda I\): \(\mathcal{E}_\lambda(A) = \mathcal{K}(A-\lambda I)\).

Q: Was besagt der Satz von Cayley-Hamilton?
A: Der Satz von Cayley-Hamilton besagt, dass eine Matrix ihr eigenes charakteristisches Polynom erfüllt: \(\chi_A(A)=0\), oder, dass das Minimalpolynom von \(A\) ein Teiler des charakteristischen Polynoms ist.